Limite et taux de variation

Rappel

Soit \(f\)  une fonction définie sur un intervalle \(I\)  et \(a \in I\) .
Si `f`  est dérivable en `a` , alors \(\lim\limits_{x \to a}\displaystyle\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\) .

Propriété

\(\lim\limits_{x \to 0}\displaystyle\frac{\text{e}^x-1}{x}=1\) .

Démonstration

Pour tout réel \(x \neq 0,\ \displaystyle\frac{\text{e}^x-1}{x}=\displaystyle\frac{\text{e}^x-\text{e}^0}{x-0}\) .
La fonction exponentielle est dérivable en \(0\) , donc  \(\lim\limits_{x \to 0}\displaystyle\frac{\text{e}^x-1}{x}=\exp'(0)=1\) .