Limite et taux de variation

Rappel

Soit $f$  une fonction définie sur un intervalle $I$  et $a\in I$ .
Si $f$  est dérivable en $a$ , alors $\underset{x\to a}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime }(a)}$ .

Propriété

$\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\text{e}}^x-1}{x}=1}$ .

Démonstration

Pour tout réel $x\ne 0,{\displaystyle \frac{{\text{e}}^x-1}{x}={\displaystyle \frac{{\text{e}}^x-{\text{e}}^0}{x-0}}}$ .
La fonction exponentielle est dérivable en $0$ , donc  $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\text{e}}^x-1}{x}={\exp }^{\prime }(0)=1}$ .